Toán 6 · Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên · Kết nối tri thức với cuộc sống
Bài giảng tương tác Xếp gói · nối thanh · xếp hàng · bảng thẻ thừa số · máy sơ đồ cột · thanh phân số · máy chọn mẫu chung Bài tập 2.36–2.44 chỉ có gợi ý, không có đáp ánMai cần mua đĩa giấy, cốc giấy để chuẩn bị cho một bữa tiệc sinh nhật. Đĩa và cốc được đóng thành từng gói với số lượng mỗi loại khác nhau: gói 4 cái đĩa và gói 6 cái cốc. Cửa hàng chỉ bán từng gói mà không bán lẻ. Mai muốn mua số đĩa và số cốc bằng nhau thì phải mua ít nhất bao nhiêu gói mỗi loại? (SGK — hình minh hoạ: đĩa giấy và cốc giấy nhiều màu)
Số đĩa phải bằng số cốc, và mua ít nhất. Em đoán:
Cô để lửng: số cái mỗi loại ấy là gì của hai số 4 và 6? (em gọi được tên nó ở Ví dụ 2)
| KHÁI NIỆM, THUẬT NGỮ | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG |
|---|---|
| Bội chung Bội chung nhỏ nhất |
• Tìm bội chung, bội chung nhỏ nhất của hai hoặc ba số tự nhiên. • Sử dụng bội chung nhỏ nhất để quy đồng mẫu các phân số và cộng, trừ phân số. |
HĐ1. Tìm các tập hợp B(6), B(9). Tập bội có vô số phần tử — em chọn các bội có trong mỗi dãy, chọn xong cả hai dòng rồi bấm Kiểm tra.
B(6) — chọn mọi bội của 6 có trong dãy:
B(9) — chọn mọi bội của 9 có trong dãy:
HĐ2. Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6, 9). (chọn các phần tử nhỏ hơn 60)
HĐ3. Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là
📌 Khung Kiến thức trọng tâm mở ra khi em làm xong Hoạt động 3.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Ta kí hiệu: BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b; BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Chú ý. Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.
Dòng trên nối tiếp các thanh dài 6, dòng dưới nối tiếp các thanh dài 9, cùng bắt đầu từ vạch 0. Điểm cuối các thanh của dòng trên là các bội của 6, của dòng dưới là các bội của 9.
Vạch chàm là chỗ cả hai dòng cùng kết thúc: 0; 18; 36; 54; … — đó là các bội chung của 6 và 9. Vạch chàm đầu tiên khác 0 (khoanh tròn) là BCNN(6, 9) = 18. Bài 11 cắt tấm gỗ thành thanh (ước); bài này nối thanh thành dải (bội).
Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 4 và 6.
Giải. Ta có B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; …}; B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; …}.
Các số 0; 12; 24; … vừa là bội của 4, vừa là bội của 6 nên BC(4, 6) = {0; 12; 24; …}.
Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 4 và 6 là 12 nên BCNN(4, 6) = 12.
Trở lại tình huống mở đầu của bài, để mua cùng số lượng n cái mỗi loại thì n ∈ BC(4, 6). Để mua ít nhất thì n = BCNN(4, 6) = 12.
Vậy bạn Mai có thể mua ít nhất 12 cái mỗi loại hay mua 3 gói đĩa và 2 gói cốc.
Cô nhắc: ở Hoạt động 1 em đã đoán — so lại nhé. Số đĩa là bội của 4, số cốc là bội của 6; bằng nhau thì số ấy là bội chung của 4 và 6; ít nhất thì là BCNN.
Mỗi gói là một thanh. Bấm mua thêm từng gói; khi hai dòng dài bằng nhau, vạch chàm hiện ra. Không chấm điểm.
Vì sao cách của Vuông đúng? Em chọn câu nói đúng:
Khung Nhận xét (SGK) mở ra khi em làm xong Hoạt động 4.
Thanh 21 dài đúng bằng 3 thanh 7 nối tiếp (vì 21 ⋮ 7): điểm cuối của thanh 21 đầu tiên cũng là điểm cuối của một thanh 7 — nên vạch chàm đầu tiên khác 0 là 21.
① Câu hỏi (SGK). BCNN(36, 9) =
② Luyện tập 1 (SGK). Tìm bội chung nhỏ nhất của: a) 6 và 8: ; b) 8; 9; 72:
Vận dụng. Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?
① Số tháng phải đợi ít nhất là:
② Sau ít nhất tháng nữa. ③ Cô hỏi thêm: đó là tháng năm sau.
Máy A được bảo dưỡng sau 6, 12, 18, … tháng (các bội của 6); máy B sau 9, 18, 27, … tháng (các bội của 9). Hai máy cùng được bảo dưỡng sau một số tháng là bội chung của 6 và 9; ít nhất thì là BCNN(6, 9) = 18.
Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng. Tháng 5 cộng 18 tháng: 5 + 18 = 23 = 12 + 11 — tháng 11 năm sau.
Ta có BCNN(4, 6) = 12 = 22 · 3, trong đó 2 và 3 là các ước nguyên tố chung và riêng của 4 và 6. Vậy có sự liên hệ gì giữa BCNN của các số và các ước nguyên tố chung và riêng của chúng? Chúng ta cùng tìm hiểu nhé. (SGK)
Mỗi số một dòng; thẻ cam là thừa số nguyên tố; thẻ cùng một số nguyên tố xếp cùng một cột (như Bài 11). Bấm từng bước. Không chấm điểm.
BCNN phải là bội của mọi số, nên nó phải chứa đủ các thẻ của từng dòng. Dòng 75 có hai thẻ 5 — nếu BCNN chỉ có một thẻ 5 thì nó không chia hết cho 75. Vì thế mỗi cột lấy số thẻ của dòng có nhiều thẻ nhất: cột 3 lấy hai thẻ (dòng 90), cột 5 lấy hai thẻ (dòng 75), cột 2 lấy một thẻ (dòng 90). So với Bài 11: ƯCLN chỉ lấy cột chung, số mũ nhỏ nhất; BCNN lấy mọi cột, số mũ lớn nhất.
Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
❶ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
❷ Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;
❸ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.
Bước ❶ SGK đã làm sẵn — cô xếp thành bảng thẻ:
❷ Chọn mọi thừa số nguyên tố được lấy vào BCNN (chung và riêng):
❸ BCNN(9, 15) =
Cột 3 lấy hai thẻ (dòng 9 có hai thẻ 3 — viền chàm), cột 5 lấy một thẻ (dòng 15).
Tìm BCNN(18, 24, 40) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. Ba số thì bảng có ba dòng; mỗi cột lấy số thẻ của dòng nhiều thẻ nhất.
Giải (SGK). Phân tích các số 18; 24; 40 ra thừa số nguyên tố, ta được: 18 = 2 · 32; 24 = 23 · 3; 40 = 23 · 5.
Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 3 và 5. Khi đó BCNN(18, 24, 40) = 23 · 32 · 5 = 360.
Ta đã biết BC(4, 6) = {0; 12; 24; …}, BCNN(4, 6) = 12 và nhận thấy các số là bội chung của 4 và 6 đều là bội của 12.
Bằng hình: dòng thứ ba nối các thanh dài 12. Điểm cuối các thanh 12 rơi đúng vào các vạch chàm — nơi thanh 4 và thanh 6 cùng kết thúc. Bội chung của 4 và 6 chính là các bội của BCNN(4, 6) = 12.
Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:
❶ Tìm BCNN của các số.
❷ Tìm các bội của BCNN đó.
Chọn mọi bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6:
Ta có BCNN(18, 24, 40) = 360.
Từ đó, ta suy ra BC(18, 24, 40) = {0; 360; 720; 1 080; …} nên bội chung nhỏ hơn 900 của 18; 24 và 40 là 0; 360; 720.
Bước ❶: phân tích hai số bằng sơ đồ cột (Bài 10) — máy chấm từng dòng. Rồi em làm bước ❷, ❸ ra nháp.
❷ ❸ BCNN(15, 54) =
Chọn mọi bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54:
Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội) được ghi ở bảng bên. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng lúc vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày (từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe buýt này lại xuất bến cùng một lúc?
| Bến xe Mỹ Đình | |
|---|---|
| Số xe | Thời gian |
| Xe 16 | 15 phút/chuyến |
| Xe 34 | 9 phút/chuyến |
| Xe 30 | 10 phút/chuyến |
① Cứ sau ít nhất bao nhiêu phút thì ba xe lại cùng xuất bến? BCNN(15, 9, 10) = phút.
② Chọn mọi thời điểm (sau 10 giờ 35 phút, đến 22 giờ) ba xe lại xuất bến cùng lúc:
Sau mỗi khoảng thời gian bằng bội chung của 15, 9 và 10 (phút) thì ba xe lại cùng xuất bến. 15 = 3 · 5; 9 = 32; 10 = 2 · 5 nên BCNN(15, 9, 10) = 2 · 32 · 5 = 90 (phút) = 1 giờ 30 phút.
Cộng dần 1 giờ 30 phút từ 10 giờ 35 phút: 12 giờ 5 phút; 13 giờ 35 phút; 15 giờ 5 phút; 16 giờ 35 phút; 18 giờ 5 phút; 19 giờ 35 phút; 21 giờ 5 phút (lần sau là 22 giờ 35 phút — đã quá 22 giờ).
Một thư viện nhận một thùng sách. Nếu buộc thành từng bó 10 cuốn hay từng bó 16 cuốn thì đều vừa hết, không thừa cuốn nào. Biết số sách từ 200 đến 300 cuốn. Hỏi thùng có bao nhiêu cuốn sách?
① Số sách chia hết cho 10 và cho 16, nên là một bội chung của 10 và 16. BCNN(10, 16) =
② Viết các bội của BCNN ra nháp. Số nằm trong khoảng từ 200 đến 300 là cuốn.
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. Quy đồng mẫu các phân số là đưa chúng về các phân số bằng chúng và có cùng một mẫu — mẫu ấy gọi là mẫu chung.
Trong trang, phân số viết tử trên, mẫu dưới; ở các câu gợi ý và ô gõ, viết gọn a/b (tử a, mẫu b).
Chia nhỏ thì cả tử và mẫu cùng được nhân lên, phần tô vẫn như cũ. Không chấm điểm.
Để quy đồng mẫu hai phân số ab và cd, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.
Chẳng hạn, để quy đồng mẫu hai phân số 58 và 712, ta làm như sau:
Ta có BCNN(8, 12) = 24, nên 58 = 5 · 38 · 3 = 1524 và 712 = 7 · 212 · 2 = 1424.
Chia cả hai thanh thành cùng một số phần nhỏ. Chỉ khi vạch mới đi qua mọi vạch cũ (vạch đậm) của cả hai thanh thì mới viết được hai phân số với cùng mẫu ấy. Không chấm điểm.
① Mẫu chung là BCNN(9, 15) =
② 79 = 45; 415 = 45
③ Cô hỏi thêm — hai mẫu không có thừa số nguyên tố chung: 16 + 27 = (gõ phân số tối giản dạng tử/mẫu)
Quy đồng mẫu các phân số sau: 38, 59 và 16.
Giải (SGK). Ta có 6 = 2 · 3; 8 = 23; 9 = 32 nên BCNN(6, 8, 9) = 23 · 32 = 72. Ta có thể lấy mẫu chung của ba phân số trên là 72. Do đó
38 = 3 · 98 · 9 = 2772; 59 = 5 · 89 · 8 = 4072; 16 = 1 · 126 · 12 = 1272.
Thực hiện phép tính: a) 14 + 16; b) 1112 − 38.
Giải (SGK). a) Ta có BCNN(4, 6) = 12 nên ta có thể lấy mẫu chung của hai phân số là 12 và: 14 = 1 · 34 · 3 = 312, 16 = 1 · 26 · 2 = 212. Vậy 14 + 16 = 312 + 212 = 512.
b) Ta có BCNN(8, 12) = 24 nên: 1112 − 38 = 11 · 212 · 2 − 3 · 38 · 3 = 2224 − 924 = 1324.
Nếu cộng tử với tử, mẫu với mẫu thì 1/4 + 1/6 "bằng" 2/10. So hai thanh: phần tô của 2/10 còn ngắn hơn phần tô của 1/4 — thêm 1/6 vào mà tổng lại nhỏ đi? Vô lí. Phải đưa về cùng loại phần nhỏ (cùng mẫu) rồi mới cộng số phần.
Mỗi câu ❶: gõ mẫu chung (BCNN các mẫu) trước — đúng thì các tử mới hiện ra để em gõ. Câu ❷: gõ kết quả là phân số tối giản, dạng tử/mẫu.
❶ a) 512 và 715: mẫu chung BCNN(12, 15) = → 60; 60
❶ b) 27, 49 và 712: mẫu chung BCNN(7, 9, 12) = → 252; 252; 252
❷ a) 38 + 524 = ; b) 716 − 512 =
❶ a) 12 = 22 · 3; 15 = 3 · 5 nên BCNN(12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60; 5/12 = (5 · 5)/(12 · 5) = 25/60; 7/15 = (7 · 4)/(15 · 4) = 28/60.
❶ b) 7 là số nguyên tố; 9 = 32; 12 = 22 · 3 nên BCNN(7, 9, 12) = 22 · 32 · 7 = 252; 2/7 = (2 · 36)/(7 · 36) = 72/252; 4/9 = (4 · 28)/(9 · 28) = 112/252; 7/12 = (7 · 21)/(12 · 21) = 147/252.
❷ a) 24 ⋮ 8 nên BCNN(8, 24) = 24: 3/8 + 5/24 = 9/24 + 5/24 = 14/24 = 7/12.
❷ b) 16 = 24; 12 = 22 · 3 nên BCNN(16, 12) = 24 · 3 = 48: 7/16 − 5/12 = 21/48 − 20/48 = 1/48.
2.36. Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của: a) 5 và 7; b) 3, 4 và 10.
2.37. Tìm BCNN của: a) 2 · 33 và 3 · 5; b) 2 · 5 · 72 và 3 · 52 · 7.
2.38. Tìm BCNN của các số sau: a) 30 và 45; b) 18, 27 và 45.
2.39. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a ⋮ 28 và a ⋮ 32.
2.40. Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp từ 30 đến 40. Tính số học sinh lớp 6A.
2.41. Hai đội công nhân trồng được một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200 cây.
2.42. Cứ 2 ngày, Hà đi dạo cùng bạn cún yêu quý của mình. Cứ 7 ngày, Hà lại tắm cho cún. Hôm nay, cún vừa được đi dạo, vừa được tắm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm?
2.43. Quy đồng mẫu các phân số sau: a) 912 và 715; b) 710, 34 và 914.
2.44. Thực hiện các phép tính sau: a) 711 + 57; b) 720 − 215.
Nhiều nước phương Đông trong đó có Việt Nam, gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép 10 can theo thứ tự (Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỉ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với 12 chi (Tí, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tị, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên Giáp được ghép với Tí thành năm Giáp Tí. Cứ 10 năm Giáp lại được lặp lại; cứ 12 năm Tí lại được lặp lại:
| Giáp | Ất | Bính | Đinh | Mậu | Kỉ | Canh | Tân | Nhâm | Quý | Giáp | Ất | Bính | Đinh | … |
| Tí | Sửu | Dần | Mão | Thìn | Tị | Ngọ | Mùi | Thân | Dậu | Tuất | Hợi | Tí | Sửu | … |
Như vậy, cứ sau 60 năm (60 là BCNN của 10 và 12), năm Giáp Tí lại được lặp lại. Tên của các năm âm lịch khác cũng được lặp lại sau 60 năm.
Cô nói thêm: dòng can nối các "thanh" dài 10 năm, dòng chi nối các "thanh" dài 12 năm — Giáp và Tí cùng quay lại đầu thanh ở vạch chung đầu tiên, chính là BCNN của 10 và 12.
Bốn câu nhỏ, số khác với bài tập. Đúng cả bốn câu (thanh tiến độ đầy) thì sang làm Bài tập 2.36 – 2.44.
① Chọn mọi bội chung nhỏ hơn 150 của 9 và 21.
② BCNN(23 · 3, 22 · 7) = ③ Số a nhỏ nhất khác 0 mà a ⋮ 15 và a ⋮ 25 là
④ 12 + 29 = ?
| Lỗi | Sai | Đúng |
|---|---|---|
| Nhầm BCNN với ƯCLN | BCNN(9, 15) = 3 | 3 là ƯCLN; BCNN lấy mọi thừa số, số mũ lớn nhất: 32 · 5 = 45 |
| Lấy số mũ nhỏ nhất | BCNN(9, 15) = 3 · 5 = 15 | Số mũ lớn nhất: 32 · 5 = 45 |
| Bỏ thừa số riêng | BCNN(15, 54) = 33 = 27 | Lấy cả 2 và 5: 2 · 33 · 5 = 270 |
| Lấy tích làm BCNN | BCNN(6, 8) = 48 | 48 là bội chung nhưng chưa nhỏ nhất: BCNN(6, 8) = 24 |
| Lấy 0 làm BCNN, hoặc quên 0 trong BC | BCNN(6, 9) = 0; BC(6, 9) = {18; 36; …} | BCNN là số nhỏ nhất khác 0: 18; BC(6, 9) = {0; 18; 36; …} |
| Tìm BC mà lấy cả ước của BCNN, hoặc quá giới hạn đề cho | BC nhỏ hơn 100 của 8 và 6 có 12, có 120 | Các bội của 24 nhỏ hơn 100: 0; 24; 48; 72; 96 |
| Cộng tử với tử, mẫu với mẫu | 3/8 + 5/24 = 8/32 | Quy đồng: 9/24 + 5/24 = 14/24 = 7/12 |
| Quy đồng mà chỉ nhân mẫu | 7/9 = 7/45 | Nhân cả tử: (7 · 5)/(9 · 5) = 35/45 |
| Quên rút gọn kết quả | 3/8 + 5/24 = 14/24 rồi dừng | 14 và 24 còn ước chung 2: 7/12 |