Toán 6 · Chương II. Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên · Kết nối tri thức với cuộc sống
Bài giảng tương tác Cắt tấm gỗ · xếp hàng · sơ đồ Venn · bảng thẻ thừa số · máy sơ đồ cột · thanh ô gom nhóm · máy rút gọn phân số Bài tập 2.30–2.35 chỉ có gợi ý, không có đáp ánMột bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài 18 dm và 30 dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt. (SGK — hình minh hoạ: kệ gỗ để sách)
Mọi thanh phải dài bằng nhau, và cả hai tấm đều không thừa mẩu nào. Em đoán:
Cô để lửng: độ dài ấy là gì của hai số 18 và 30? (em gọi được tên nó ở Ví dụ 2)
| KHÁI NIỆM, THUẬT NGỮ | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG |
|---|---|
| Ước chung Ước chung lớn nhất Hai số nguyên tố cùng nhau Phân số tối giản |
• Xác định ước chung, ước chung lớn nhất của hai hoặc ba số tự nhiên đã cho. • Nhận biết phân số tối giản. |
HĐ1. Tìm các tập hợp Ư(24) và Ư(28). Chia thử lần lượt 1, 2, 3, … như Bài 8; chọn xong cả hai dòng rồi bấm Kiểm tra.
Ư(24) — chọn mọi ước của 24:
Ư(28) — chọn mọi ước của 28:
HĐ2. Gọi ƯC(24, 28) là tập hợp các số vừa là ước của 24, vừa là ước của 28. Hãy viết tập hợp ƯC(24, 28).
HĐ3. Số lớn nhất trong tập ƯC(24, 28) là
📌 Khung Kiến thức trọng tâm mở ra khi em làm xong Hoạt động 3.
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Ta kí hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b; ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.
Chú ý. Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.
Mỗi vòng là tập ước của một số. Phần chung của hai vòng là các số vừa là ước của 24, vừa là ước của 28: đó là ƯC(24, 28) = {1; 2; 4}. Số lớn nhất trong phần chung, số 4 (khoanh tròn), là ƯCLN(24, 28) = 4.
Ta có Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.
Các số 1; 2; 3; 6 đều là ước của hai số 18 và 30 nên ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}.
Vì 6 là số lớn nhất trong các ước chung nên ƯCLN(18, 30) = 6.
Trở lại bài toán mở đầu, độ dài lớn nhất (đơn vị dm) của mỗi thanh gỗ được cắt chính là ước chung lớn nhất của 18 và 30. Vậy, bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh gỗ dài 6 dm.
Cô nhắc: ở Hoạt động 1 em đã đoán — so lại nhé. Thanh cắt vừa khít cả hai tấm thì độ dài của nó là ước chung của 18 và 30; thanh dài nhất là ƯCLN.
Bấm độ dài mỗi thanh. Mẩu thừa hiện khung đứt đỏ mận. Không chấm điểm.
① Em chọn câu nói đúng:
② Câu hỏi (SGK). ƯCLN(90, 10) =
Khung Nhận xét (SGK) mở ra khi em làm xong Hoạt động 4.
Tấm 6 dm đặt nối tiếp vừa khít 3 lần tấm 18 dm (vì 18 ⋮ 6): thanh 6 dm cắt vừa cả hai tấm. Dài hơn 6 dm thì tấm 6 dm không cắt ra được — nên 6 là lớn nhất.
Luyện tập 1. Bố có 12 quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng màu xanh và bóng màu đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?
Vận dụng 1. Tuần này lớp 6A và 6B gồm 40 học sinh nữ và 36 học sinh nam được phân công đi thu gom rác làm sạch bờ biển ở địa phương. Nếu chia nhóm sao cho số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì: a) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh? b) Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm học sinh?
① Luyện tập 1 — chọn mọi câu đúng:
② Vận dụng 1 a) — chọn mọi số nhóm chia được:
③ Vận dụng 1 b) — chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm? Chọn một số:
Luyện tập 1. Chia đều cho 3 bạn cả bóng xanh lẫn bóng đỏ thì 3 phải là ước của 12 và là ước của 15, tức là 3 ∈ ƯC(12, 15). Ta có 12 ⋮ 3 và 15 ⋮ 3, nên bố thực hiện được: mỗi bạn 12 : 3 = 4 quả xanh và 15 : 3 = 5 quả đỏ.
Vận dụng 1. Số nhóm phải là ước của 40 (chia đều số nữ) và là ước của 36 (chia đều số nam), tức là một ước chung của 40 và 36. Ư(40) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}, Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}, nên ƯC(40, 36) = {1; 2; 4}.
a) Có thể chia thành 1, 2 hoặc 4 nhóm. b) Nhiều nhất ƯCLN(40, 36) = 4 nhóm; mỗi nhóm 40 : 4 = 10 nữ và 36 : 4 = 9 nam.
ƯCLN(a, b) là ước của a và b nên các thừa số nguyên tố của ƯCLN(a, b) là thừa số nguyên tố chung của a và b. Vì vậy, để tìm ƯCLN(a, b) ta cần phân tích a và b ra thừa số nguyên tố. (SGK)
Mỗi số một dòng; thẻ cam là thừa số nguyên tố; thẻ cùng một số nguyên tố xếp cùng một cột. Bấm từng bước. Không chấm điểm.
ƯCLN phải là ước của cả hai số, nên mỗi thẻ của nó phải có mặt ở mọi dòng. 24 có ba thẻ 2 nhưng 60 chỉ có hai thẻ 2: ghép cặp được hai thẻ 2 — lấy 22, không lấy 23 (8 không phải ước của 60). Cột 5 chỉ có ở 60 nên không lấy.
Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
❶ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
❷ Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;
❸ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Bước ❶ SGK đã làm sẵn — cô xếp thành bảng thẻ:
❷ Chọn mọi thừa số nguyên tố chung của 45 và 150:
❸ ƯCLN(45, 150) =
Cột 3 ghép được một thẻ (150 chỉ có một thẻ 3), cột 5 ghép được một thẻ (45 chỉ có một thẻ 5), cột 2 chỉ có ở 150.
Tìm ƯCLN(56, 140, 168) bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố. Ba số thì bảng có ba dòng — thừa số chung phải có thẻ ở cả ba dòng.
Giải (SGK). Phân tích các số 56, 140 và 168 ra thừa số nguyên tố ta được: 56 = 23 · 7; 140 = 22 · 5 · 7; 168 = 23 · 3 · 7.
Ta thấy 2 và 7 là các thừa số nguyên tố chung của 56, 140 và 168. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 và số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 nên ƯCLN(56, 140, 168) = 22 · 7 = 28.
Bước ❶: phân tích hai số bằng sơ đồ cột (Bài 10) — máy chấm từng dòng. Rồi em tự làm bước ❷, ❸ ra nháp.
❷ ❸ ƯCLN(36, 84) =
Một đại đội bộ binh có ba trung đội: trung đội I có 24 chiến sĩ, trung đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?
① Số hàng dọc nhiều nhất là:
② Có thể xếp được nhiều nhất hàng dọc.
Số hàng dọc phải là ước của 24, của 28 và của 36 (không trung đội nào lẻ hàng); nhiều nhất thì là ƯCLN(24, 28, 36).
24 = 23 · 3; 28 = 22 · 7; 36 = 22 · 32. Thừa số nguyên tố chung chỉ có 2, số mũ nhỏ nhất là 2, nên ƯCLN(24, 28, 36) = 22 = 4.
Vậy xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc (mỗi hàng: trung đội I 6 chiến sĩ, trung đội II 7 chiến sĩ, trung đội III 9 chiến sĩ).
Ta đã biết ƯC(24, 28) = {1; 2; 4} và ƯCLN(24, 28) = 4. Ta thấy 1; 2; 4 là tất cả ước của 4.
Bằng hình: thanh 4 dm cắt vừa khít cả hai tấm 24 dm và 28 dm. Mỗi thanh 4 dm lại cắt đôi được (nét đứt tím hồng) thành thanh 2 dm, cắt tư thành thanh 1 dm — nên 2 dm, 1 dm cũng cắt vừa khít cả hai tấm. Ước của ƯCLN đều là ước chung.
Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:
❶ Tìm ƯCLN của các số đó.
❷ Tìm các ước của ƯCLN đó.
Chọn mọi phần tử của ƯC(75, 105):
Tìm ƯC(75, 105, 120).
Giải (SGK). Phân tích các số 75; 105 và 120 ra thừa số nguyên tố: 75 = 3 · 52; 105 = 3 · 5 · 7; 120 = 23 · 3 · 5. Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung, đó là 3 và 5. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1. Khi đó ƯCLN(75, 105, 120) = 3 · 5 = 15. Các ước của 15 là 1; 3; 5; 15. Vậy ƯC(75, 105, 120) = {1; 3; 5; 15}.
Vào ngày thứ Bảy, cô Lan tổ chức cho học sinh đi tham quan Bảo tàng Dân tộc học. Các học sinh đóng tiền mua vé, mỗi em một vé. Số tiền cô Lan thu được từng ngày được ghi lại ở bảng:
| Ngày | Thứ Hai | Thứ Ba | Thứ Tư | Thứ Năm |
|---|---|---|---|---|
| Số tiền đóng (nghìn đồng) | 56 | 28 | 42 | 98 |
a) Số tiền để mua một vé (đơn vị nghìn đồng) có thể là bao nhiêu, biết giá vé lớn hơn 2 nghìn đồng? Chọn mọi số đúng:
b) Có bao nhiêu học sinh tham gia chuyến đi, biết số học sinh tham gia trong khoảng từ 20 đến 40 người? học sinh.
a) Mỗi ngày số tiền thu được là giá một vé nhân với số em đóng tiền, nên giá vé là ước chung của 56; 28; 42; 98. 56 = 23 · 7; 28 = 22 · 7; 42 = 2 · 3 · 7; 98 = 2 · 72, nên ƯCLN(56, 28, 42, 98) = 2 · 7 = 14 và ƯC là các ước của 14: 1; 2; 7; 14. Giá vé lớn hơn 2 nghìn đồng nên giá vé là 7 nghìn đồng hoặc 14 nghìn đồng.
b) Tổng số tiền: 56 + 28 + 42 + 98 = 224 (nghìn đồng). Giá vé 7 nghìn đồng thì có 224 : 7 = 32 học sinh; giá vé 14 nghìn đồng thì có 224 : 14 = 16 học sinh. Số học sinh từ 20 đến 40 nên có 32 học sinh (giá vé 7 nghìn đồng).
Chẳng hạn, rút gọn phân số 18/30 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 3, ta được 6/10. Ta thấy 6/10 chưa là phân số tối giản, ta rút gọn tiếp bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2. Khi đó ta được phân số tối giản 3/5.
Chẳng hạn, phân số 18/30 chưa là phân số tối giản và ƯCLN(18, 30) = 6 nên 18/30 = (18 : 6)/(30 : 6) = 3/5. Ta có 3/5 là phân số tối giản.
Trang viết phân số a/b (tử a, mẫu b) cho gọn; trong vở em viết tử trên, mẫu dưới, gạch ngang ở giữa.
Gom mỗi nhóm k ô. Gom đều được cả thanh lẫn phần tô đậm khi k là ước chung của 18 và 30. Không chấm điểm.
Máy rút gọn: em gõ một số để chia cả tử và mẫu; khi em thấy phân số cuối đã tối giản thì bấm nút xanh. Đang ở 16/10 mà em cho là đã tối giản thì bấm luôn.
Cô hỏi thêm: chọn tất cả các phân số tối giản.
Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản: a) 8/5; b) 36/54.
Giải (SGK). a) Ta có ƯCLN(8, 5) = 1, nên 8/5 là phân số tối giản. b) ƯCLN(36, 54) = 18, nên 36/54 không là phân số tối giản. Ta có 36/54 = (36 : 18)/(54 : 18) = 2/3. Ta được 2/3 là phân số tối giản.
Cô chỉ vào hình: bảng thẻ của 8 và 5 không có cột nào có thẻ ở cả hai dòng — không ghép được thẻ nào, nên ƯCLN(8, 5) = 1: 8 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 90 = 2 · 32 · 5, 27 = 33, nên ƯCLN(90, 27) = 32 = 9. 90/27 = (90 : 9)/(27 : 9) = 10/3.
b) 50 = 2 · 52, 125 = 53, nên ƯCLN(50, 125) = 52 = 25. 50/125 = (50 : 25)/(125 : 25) = 2/5.
Chia từng bước (90/27 = 30/9 = 10/3) cũng ra đúng — nhưng phải nhớ soát lại xem đã tối giản chưa. Chia cho ƯCLN thì một lần là xong.
2.30. Tìm tập hợp ước chung của: a) 30 và 45; b) 42 và 70.
2.31. Tìm ƯCLN của hai số: a) 40 và 70; b) 55 và 77.
2.32. Tìm ƯCLN của: a) 22 · 5 và 2 · 3 · 5; b) 24 · 3; 22 · 32 · 5 và 24 · 11.
2.33. Cho hai số a = 72 và b = 96. a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố; b) Tìm ƯCLN(a, b), rồi tìm ƯC(a, b).
2.34. Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản: a) 50/85; b) 23/81.
2.35. Hãy cho hai ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là hợp số.
Nếu a, b là hai số tự nhiên với a ≥ b và a = bq + r, r là số dư của phép chia a cho b thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).
THUẬT TOÁN EUCLID (Ơ-CLÍT)
Bước 1. Thực hiện phép chia a cho b: a = bq + r với r < b là số dư của phép chia này. Nếu r = 0 thì a ⋮ b, do đó ƯCLN(a, b) = b. Nếu r ≠ 0 thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).
Sau Bước 1, chúng ta đã chuyển việc tìm ƯCLN của hai số a và b về việc tìm ƯCLN của hai số nhỏ hơn là b và r.
Bước 2. Thực hiện các phép toán như Bước 1, tức là thực hiện phép chia b cho r: b = rs + t với t < r. Nếu t = 0 thì b ⋮ r, do đó ƯCLN(b, r) = r. Nếu t ≠ 0 thì ƯCLN(b, r) = ƯCLN(r, t).
Quá trình này tiếp tục đến khi phép chia không còn dư. Khi đó ƯCLN chính là số chia của phép chia không còn dư đó.
Ví dụ, để tìm ƯCLN(4 836, 234) người ta thực hiện các phép chia 4 836 cho 234 (dư 156); Thực hiện phép chia 234 cho 156 (dư 78). Vì 156 chia hết cho 78, suy ra ƯCLN(4 836, 234) = 78.
Thuật toán Euclid là thuật toán thông dụng được dùng để tìm ƯCLN. Thuật toán này được viết bởi Euclid – nhà toán học người Hi Lạp, sinh vào khoảng năm 325 trước Công nguyên.
Cô dặn: trong bài làm lớp 6, em tìm ƯCLN bằng cách liệt kê ước hoặc phân tích ra thừa số nguyên tố như mục 1, 2. Phần này chỉ để đọc cho biết.
Bốn câu nhỏ, số khác với bài tập. Đúng cả bốn câu (thanh tiến độ đầy) thì sang làm Bài tập 2.30 – 2.35.
① Chọn mọi phần tử của ƯC(27, 63).
② Biết ƯCLN(a, b) = 16. Chọn mọi phần tử của ƯC(a, b).
③ ƯCLN(24 · 5, 22 · 3 · 5) =
④ Rút gọn phân số 21/35 về phân số tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu cho:
| Lỗi | Sai | Đúng |
|---|---|---|
| Lấy số lớn hơn làm ƯCLN | ƯCLN(90, 10) = 90 | 90 không phải ước của 10; 90 ⋮ 10 nên ƯCLN(90, 10) = 10 |
| Lấy số mũ lớn nhất | ƯCLN(45, 150) = 32 · 52 = 225 | Số mũ nhỏ nhất: 3 · 5 = 15 |
| Lấy cả thừa số không chung | ƯCLN(45, 150) = 2 · 3 · 5 = 30 | 2 chỉ có ở 150 — không chọn: 3 · 5 = 15 |
| Tìm ƯC mà lấy cả bội của ƯCLN | ƯCLN = 16 nên ƯC có 32, 48 | ƯC là các ước của 16: {1; 2; 4; 8; 16} |
| Chia đều hai loại mà chỉ xét tổng | "12 + 15 = 27 ⋮ 3 nên chia đều được" | Phải xét từng loại: 12 ⋮ 3 và 15 ⋮ 3 |
| Rút gọn chưa tới phân số tối giản | 90/27 = 30/9 rồi dừng | 30 và 9 còn ước chung 3; chia cho ƯCLN(90, 27) = 9: 10/3 |
| Chia tử và mẫu cho số không phải ước chung | 21/35: chia cho 3 | 35 không chia hết cho 3; chia cho ƯCLN(21, 35) = 7: 3/5 |